Калькулятор треугольника: стороны и углы

Найдите неизвестные стороны, углы, площадь, высоты и радиусы окружностей. Выберите известные величины: для каждого способа нужны свои данные. Стороны a, b, c лежат напротив углов A, B, C.

Целые и десятичные числа с точкой или запятой. Все длины в одной выбранной единице, от 0,000001 до 1 000 000 000. Углы — в градусах, от 0,000001 до 179,999999. При смене единицы числа сохраняются: это новые исходные данные, а не перевод величин.

Несколько треугольников и CSV

Порядок значений: a; b; c. Разделитель — точка с запятой.

Как выбрать способ расчёта

Три стороны. Если известны a, b и c, площадь можно найти по формуле Герона, а углы — по теореме косинусов. Для сторон 3, 4 и 5 площадь равна 6, периметр 12; напротив стороны 5 находится угол 90°.

Две стороны и угол между ними. Введите a, b и C. Например, при a = 3, b = 4 и C = 90° третья сторона c равна 5. Угол напротив одной из двух сторон сюда не подходит: такой набор может дать два разных треугольника.

Сторона и два угла. Сторона c соединяет вершины A и B. Третий угол C = 180° − A − B; остальные стороны вычисляются по теореме синусов. При c = 10, A = 60° и B = 60° все стороны равны 10.

Прямоугольный треугольник. По двум катетам находится гипотенуза c; по гипотенузе c и катету a — второй катет b. Гипотенуза всегда больше каждого катета. Для c = 13 и a = 5 второй катет равен 12.

Формулы и обозначения

Полупериметр p = (a + b + c) / 2. Площадь S = √[p(p − a)(p − b)(p − c)]. Высота к стороне a: hₐ = 2S/a. Радиус вписанной окружности r = S/p; описанной R = abc/(4S).

Высота проводится перпендикулярно стороне или её продолжению. Поэтому в тупоугольном треугольнике некоторые высоты находятся за пределами фигуры. Калькулятор возвращает их положительные длины.

Почему расчёт может не получиться

Сумма любых двух сторон должна быть больше третьей. Стороны 1, 2, 3 образуют отрезок, а не треугольник. Сумма двух известных углов должна быть меньше 180°. Нулевые и отрицательные длины не принимаются.

Очень тонкие треугольники чувствительны к округлению исходных данных. Если нормированная разность суммы двух меньших сторон и большей стороны меньше 0,0000000001, расчёт отклоняется. Числа с избытком разрядов округляются самим браузером; показанные 10 значащих цифр не означают такую же точность измерений.

Все вычисления относятся к обычному плоскому треугольнику. Треугольник на сфере требует другой геометрии.

Другие расчёты

Площадь фигур и поверхностей · Перевод единиц длины и площади · Степени и корни · Все калькуляторы

Треугольник по основанию, высоте, площади или острому углу

Дополнительные способы расчёта для равнобедренного и прямоугольного треугольника. По одной площади стороны обычного треугольника определить нельзя: у разных фигур площадь может совпадать. Здесь для расчёта по площади нужны ещё основание и условие равенства двух боковых сторон.

Длины — от 0,000001 до 1 000 000 000 выбранных единиц. Площадь указывайте в квадратных единицах той же шкалы, а острый угол — в градусах от 0,000001 до 89,999999. При смене единицы числа сохраняются и рассматриваются как новые исходные данные.

Список задач и CSV

Порядок значений: основание c; высота h.

Как задавать равнобедренный треугольник

Основание обозначено c, одинаковые боковые стороны — a и b. Высота опускается из общей вершины боковых сторон на середину основания. Поэтому a = b = √[(c/2)² + h²]. При основании 6 см и высоте 4 см боковые стороны равны 5 см, площадь — 12 см².

Если известны основание c и площадь S, сначала находится высота h = 2S/c. Для основания 6 см и площади 12 см² это те же 4 см высоты. Без условия равнобедренности такого набора недостаточно для определения двух боковых сторон.

Как задавать прямоугольный треугольник по углу

Прямой угол C равен 90°, c — гипотенуза. Острый угол A находится напротив катета a и рядом с катетом b. Выбирайте режим именно для известного катета: перестановка a и b меняет угол. При A = 30° и гипотенузе c = 10 см катет a равен 5 см, катет b — примерно 8,660254038 см.

По катету a: b = a/tan A. По катету b: a = b·tan A. По гипотенузе: a = c·sin A и b = c·cos A. После определения сторон вычисляются остальные величины, как в основной форме выше.

Результаты приблизительные, до 10 значащих цифр. Точность измерений этим не повышается. Для рассчитанных сторон действуют те же границы; очень тонкие треугольники отклоняются основным решателем. В режиме площади допускается вход от 0,0000000000005 до 1 000 000 000 000 000 000, но рассчитанные высота и стороны также должны пройти проверку диапазона.